式（6-25a)是輸入型DEA對偶模型，其中對偶變量日的取值盡管無(wú)限制，但實(shí) 際上有00，i=1，2，… m;;>0,j=1，2…,0,則稱(chēng)被評單位k。 是DEA有效的。 這里不加證明地給出如下結果，如果讀者想了解證明過(guò)程，請參考相關(guān)文獻 (魏權齡，2004）。 定理6-12R模型都具有最優(yōu)解，并且min0=maxByA。<1。 定理6-2至少存在一個(gè)決策單元是DEA有效的。

    定理6-3決策單元的弱DEA有效和DEA有效與輸入量和輸出量的量綱 無(wú)關(guān)。 定理6-4決策單元的各輸入、輸出量同倍增長(cháng)不會(huì )影響決策單元的弱DEA 有效性和DEA有效性。 定理6-5C2R的輸人模型和輸出模型的原問(wèn)題具有相同的最優(yōu)解，并且最 優(yōu)目標函數值互為倒數；min E。 而axE云”對偶問(wèn)題的最優(yōu)解滿(mǎn)足關(guān)系(6-26)。 以上定理為DEA法奠定了理論基礎，通過(guò)這些定理可以得出以下結論。 

   （1）R模型都存在最優(yōu)解，幾種模型的最優(yōu)解是等價(jià)的。 

   （2）DEA有效性評價(jià)與輸入、輸出量量綱無(wú)關(guān)，也與它們的同倍增加和減少 無(wú)關(guān)。

    (3）DEA有效性評價(jià)實(shí)際上是各決策單元之間相對比較后得出的結果，是相 對有效性評價(jià)。

    (4)各決策單元必須是同一類(lèi)單元，相互之間具有可比性，用于評價(jià)的輸入輸 出量種類(lèi)相同（數值不同）。

     另外，在DEA模型（6-24)中，如果約束條件數n和決策變量a，、β個(gè)數 （m+o)之間，滿(mǎn)足關(guān)系(m十o）>n+1，則根據基本可行解的特性，最優(yōu)的基本可 行解中必有決策變量等于0，那么能否根據DEA有效性的定義6-2，就斷定該決策 單元只是弱DEA有效的?一般不能。因為在這種情況下，C2R模型可能存在無(wú) 窮多最優(yōu)解，其中最優(yōu)解凸集的頂點(diǎn)在坐標軸上，凸集的內點(diǎn)都是最優(yōu)解，這些內 點(diǎn)中可能存在各決策變量都大于零的點(diǎn)，此時(shí)是DEA有效的。 例6-3在例6-2中，以航線(xiàn)為決策單元，n=5，投入是運行成本，產(chǎn)出包括收 益、貢獻值和需求，因此，m=1，o=3。表6-7給出了投入和產(chǎn)出量的具體數值，現 評價(jià)這5條航線(xiàn)的有效性。 解取航線(xiàn)1為被評單位：ko=1，并令x=a3，y1=a1，y2=a2，y3=a4。根據 表6-7的數據，輸出型DEA對偶模型如下： 以其他航線(xiàn)為被評單位，可以給出另外4個(gè)類(lèi)似的模型，可用ILOG/CPLEX 編程求解給出，即對于航線(xiàn)1：A:=0，iA3，p3=1.25，～1.125 對于航線(xiàn)2：A:=0，i決3，p3=1.25,7'=1.o227 對于航線(xiàn)3：pi=0，i3，p3=1.0，=1.6 對于航線(xiàn)4：p1=0，iA3，p3=1.5，7=1.680 對于航線(xiàn)5：p:=0，i產(chǎn)5，5E1.0.7c1.6 根據定理6-5和定義6-1可知，只有航線(xiàn)3和航線(xiàn)5至少是弱DEA有效的， 其他三條航線(xiàn)都是非DEA有效的。

     根據定理6-2可知，在航線(xiàn)3和航線(xiàn)5中至少 有一條是DEA有效的。根據互補松弛定理可知，對于航線(xiàn)3和航線(xiàn)5的情況，由 子對偶問(wèn)題約束條件的松弛變量都等于0，很有可能原問(wèn)題的決策變量最優(yōu)解a、 a20.k=1,2.3,4,5，帶想這兩條航線(xiàn)都是DEA有效的。請同學(xué)們通過(guò)計算原間 題最優(yōu)解ax、BA來(lái)驗證這個(gè)結論。 DEA法不能給出被評對象的優(yōu)劣排序，只能評價(jià)其是否DEA有效。對于上 例，我們無(wú)法再給出航線(xiàn)3和航線(xiàn)5誰(shuí)更好些。對于非DEA有效的航線(xiàn)1、航線(xiàn)2 和航線(xiàn)4，是否能根據最優(yōu)解的結果，給出航線(xiàn)1最差的結論?請同學(xué)們討論這個(gè) 問(wèn)題。 從上述討論可以看出，DEA法不受主觀(guān)判斷的影響，權重只受選擇的輸入量 和輸出量影響，也就是如果選擇不同的輸人量和輸出量，評價(jià)結果可能不同。

    例如，如果把需求從輸出量中刪除，也就是本公司對需求大小（市場(chǎng)份額）不太關(guān)心， 則重新進(jìn)行DEA分析發(fā)現，航線(xiàn)5的效率系數成為 對于航線(xiàn)5：p:=0，i3，p3=1.0，7=1.2 其他航線(xiàn)的效率系數不變。因此，航線(xiàn)5已變成非DEA有效的了，此時(shí)只有 航線(xiàn)3是DEA有效的。 上述結論與層次分析法產(chǎn)生的結果不太一致，層次分析法評價(jià)的結果排在前 面的不一定是DEA有效的。因為層次分析法分析的結果受權重影響比較大，權 重是由專(zhuān)家在屬性之間兩兩比較后給出的，受主觀(guān)因素影響比較重，所以只能通過(guò) 一致性檢驗判斷權重的合理性。